Ściąga z geometrii różniczkowej — 25 kluczowych pojęć

Poniżej 25 pojęć pogrupowanych tematycznie. Przy każdym: synonimy (historyczne, angielskie, alternatywne zapisy które można spotkać w książkach) oraz krótki opis dla inżyniera.

Fundament — przestrzeń i struktura #

Rozmaitość M #

też: manifold, przestrzeń gładka, variety (hist.)

Przestrzeń która lokalnie wygląda jak R^n — można na niej robić rachunek różniczkowy. Globalnie może być zupełnie inna niż przestrzeń płaska. Sfera, torus, grupa macierzy — to wszystko rozmaitości.

Karta (U, φ) #

też: chart, układ lokalnych współrzędnych, parametryzacja

Para: otwarty zbiór U na rozmaitości oraz homeomorfizm φ do R^n. Jak „mapka" małego kawałka rozmaitości na płaską przestrzeń. Pozwala lokalnie liczyć w zwykłych współrzędnych.

Atlas 𝒜 #

też: atlas, pełne pokrycie kartami

Zbiór kart pokrywających całą rozmaitość. Jak atlas geograficzny — każda strona to karta, razem opisują glob. Gładki atlas → gładka rozmaitość.

Przestrzeń styczna T_p M #

też: tangent space, przestrzeń wektorów stycznych

Płaska przestrzeń wektorowa „przyklejona" do rozmaitości w punkcie p. Wektory styczne to kierunki ruchu po rozmaitości. Na sferze — dosłownie płaszczyzna styczna w danym punkcie.

Wiązka styczna TM #

też: tangent bundle, zbiór wszystkich przestrzeni stycznych

Suma wszystkich przestrzeni stycznych T_p M dla każdego p ∈ M. Sama jest rozmaitością (wymiaru 2n). Tu żyją pola wektorowe.

Dyfeomorfizm f: M → N #

też: diffeomorphism, gładka bijekcja z gładką odwrotnością

Przekształcenie między rozmaitościami które jest gładkie i odwracalnie gładkie. Dyfeomorficzne rozmaitości są geometrycznie identyczne z punktu widzenia geometrii różniczkowej.

Geometria Riemannowska — metryka i krzywizna #

Metryka Riemannowska g #

też: Riemannian metric, tensor metryczny, g_ij (zapis współrzędnościowy)

Gładkie przypisanie iloczynu skalarnego do każdej przestrzeni stycznej. Tensor typu (0,2) — przyjmuje dwa wektory, zwraca skalar. Pozwala mierzyć długości, kąty i pola. Fundament całej geometrii Riemannowskiej.

Geodezyjna γ(t) #

też: geodesic, linia prosta na rozmaitości, krzywa autoparalelna

Krzywa minimalizująca odległość między dwoma punktami. Na sferze: łuk koła wielkiego. Na płaszczyźnie: prosta. Uogólnienie pojęcia „prostej" na zakrzywioną przestrzeń.

Odległość geodezyjna d(p, q) #

też: geodesic distance, Riemannian distance

Długość najkrótszej geodezyjnej między p i q. Na okręgu S¹: długość krótszego łuku. Kluczowo różni się od odległości euklidesowej — np. 10° i 350° są odległe o 20°, nie 340°.

Mapa eksponencjalna Exp_p #

też: exponential map, exp

Odwzorowuje wektor styczny v ∈ T_p M na punkt rozmaitości wzdłuż geodezyjnej startującej w p w kierunku v. Tłumaczy „krok w R^n" na „krok po rozmaitości". Retrakcja to tańsze numeryczne przybliżenie Exp.

Mapa logarytmiczna Log_p #

też: logarithmic map, log

Odwrotność mapy eksponencjalnej. Dla dwóch punktów p, q zwraca wektor styczny v taki że Exp_p(v) = q. Odpowiada na pytanie: jak dojść z p do q po rozmaitości?

Krzywizna sekcjonalna K #

też: sectional curvature, krzywizna Gaussa (dla powierzchni 2D)

Miara zakrzywienia rozmaitości w danym punkcie i płaszczyźnie. K > 0: sfera (geodezyjne się zbiegają). K = 0: płaszczyzna. K < 0: siodło (geodezyjne się rozchodzą).

Tensor Riemanna R(X,Y)Z #

też: Riemann curvature tensor, tensor krzywizny, R^i_{jkl} (zapis indeksowy)

Pełny opis krzywizny. Mierzy jak bardzo transport równoległy zależy od wyboru drogi. Jeśli R = 0, rozmaitość jest lokalnie płaska. Wszystkie inne miary krzywizny wynikają z tensora Riemanna.

Środek Frécheta μ_F #

też: Fréchet mean, Karcher mean (technicznie: lokalne minimum), uogólniona średnia

Punkt minimalizujący sumę kwadratów odległości geodezyjnych do zbioru punktów danych. Uogólnienie średniej arytmetycznej na rozmaitości. Dla 10° i 350° na okręgu daje 0°, a nie 180°.

Koneksja i transport równoległy #

Koneksja ∇ #

też: connection, pochodna kowariantna ∇_X, Zusammenhang (niem.)

Sposób różniczkowania pól wektorowych na rozmaitości — jak porównywać wektory w różnych punktach. Koneksja Levi-Civita jest kanonicznie wyznaczona przez metrykę Riemannowską.

Transport równoległy P_γ #

też: parallel transport, przesunięcie równoległe

Przenoszenie wektora wzdłuż krzywej bez jego „skręcania" — zgodnie z koneksją. Na sferze: przeniesiony wektor może wrócić obrócony (holonomia). Analogia w FOC: wektor prądu transformowany układem dq przy obrocie wału.

Gradient Riemannowski grad f #

też: Riemannian gradient, rzut gradientu na T_p M

Rzut zwykłego gradientu euklidesowego na przestrzeń styczną rozmaitości, z uwzględnieniem metryki. To właśnie oblicza pymanopt w każdym kroku optymalizacji. Kierunek najszybszego wzrostu funkcji po powierzchni.

Holonomia Hol(p) #

też: holonomy, obrót po pętli

Zmiana wektora po przeniesieniu go równolegle wzdłuż zamkniętej pętli. Globalna miara krzywizny. Na przestrzeni płaskiej holonomia = 0. Na sferze — niezerowa.

Grupy Liego #

Grupa Liego G #

też: Lie group, gładka grupa, continuous group (hist.)

Grupa która jest jednocześnie gładką rozmaitością, a działanie grupowe jest gładkie. Przykłady: SO(3) (rotacje 3D), SE(3) (rotacje + translacje 3D), U(1) = S¹ (okrąg).

Algebra Liego 𝔤 #

też: Lie algebra, przestrzeń styczna w elemencie neutralnym, infinitezymalne generatory

Przestrzeń styczna T_e G w elemencie neutralnym grupy Liego, wyposażona w nawias Liego [·,·]. Lokalna linearyzacja grupy. Dla SO(3): antysymetryczne macierze 3×3.

Działanie grupowe G × M → M #

też: group action, transformacja, symetria

Gładkie odwzorowanie które przesuwa punkty rozmaitości elementami grupy. Przykład: SO(3) działa na sferze S² przez rotacje. Kluczowe dla opisu symetrii w fizyce i robotyce.

Ekwiwariantność f(g·x) = g·f(x) #

też: equivariance, współzmienniczość, symetria funkcji

Własność funkcji która komutuje z działaniem grupowym. CNN ekwiwariantne translacyjnie: przesunięcie obrazu daje przesunięcie wyników. Transformacja Parka w FOC jest ekwiwariantna względem SO(2).

Formy różniczkowe #

Forma różniczkowa ω #

też: differential form, p-forma, kowektor (1-forma)

Obiekt który można całkować po rozmaitości. 0-forma: funkcja. 1-forma: całkujemy po krzywej. 2-forma: całkujemy po powierzchni. Równania Maxwella zapisane formami są eleganckie i współzmiennicze.

Pochodna zewnętrzna d #

też: exterior derivative, operator d, uogólniony rot/div/grad

Operator zamieniający p-formę w (p+1)-formę. Unifikuje gradient, rotację i dywergencję w jednej operacji. Własność kluczowa: d∘d = 0. Twierdzenie Stokesa: ∫_M dω = ∫_∂M ω.

Tensor kowariantny T_{ij} #

też: covariant tensor, indeksy dolne

Tensor który pod zmianą współrzędnych transformuje się jak pochodne cząstkowe. Metryka g jest tensorem typu (0,2) — dwa argumenty kowariantne. Indeksy dolne = kowariantny.

Tensor kontrawariantny T^{ij} #

też: contravariant tensor, indeksy górne

Tensor transformujący się odwrotnie do pochodnych cząstkowych. Wektory styczne są kontrawariantne. Metryka „opuszcza" indeksy górne i „podnosi" dolne.

Ważne rozmaitości w inżynierii #

Hierarchia pojęć #

rozmaitość M
  └── atlas (karty) → lokalne współrzędne
        └── metryka g, typ (0,2) → iloczyn skalarny na T_p M
              └── koneksja ∇ (Levi-Civita) → pochodna kowariantna
                    ├── geodezyjne → transport równoległy
                    └── tensor Riemanna → krzywizna

Optymalizacja Riemannowska (pymanopt):

gradient euklidesowy
  → rzut na T_p M (z uwzgl. metryki) = gradient Riemannowski
      → krok wzdłuż geodezyjnej (lub retrakcja jako przybliżenie)
          → nowy punkt na rozmaitości

Grupy Liego:

G (globalna, nieliniowa) ←→ 𝔤 (lokalna, linearna)
         Exp: 𝔤 → G
         Log: G → 𝔤