Rozmaitości różniczkowe — intuicja dla inżynierów
Table of Contents
Po co inżynierowi rozmaitości? #
Przestrzeń konfiguracyjna robota o sześciu stopniach swobody nie jest “zwykłą” przestrzenią $\mathbb{R}^6$. Kąty obrotu żyją na okręgu $S^1$, nie na prostej — i to ma praktyczne konsekwencje dla planowania ruchu, interpolacji i unikania osobliwości.
Rozmaitość różniczkowa to formalne narzędzie do pracy z takimi przestrzeniami.
Definicja intuicyjna #
Rozmaitość $n$-wymiarowa to przestrzeń, która lokalnie wygląda jak $\mathbb{R}^n$, ale globalnie może mieć nietrywialną strukturę.
Klasyczne przykłady:
- $S^1$ — okrąg (rozmaitość 1-wymiarowa)
- $S^2$ — sfera (rozmaitość 2-wymiarowa)
- $SO(3)$ — grupa obrotów w $\mathbb{R}^3$ (rozmaitość 3-wymiarowa)
Przestrzenie konfiguracyjne #
Dla układu mechanicznego z $n$ stopniami swobody, przestrzeń konfiguracyjna $\mathcal{Q}$ jest rozmaitością. Na przykład:
Wahadło podwójne: $\mathcal{Q} = S^1 \times S^1 = \mathbb{T}^2$ (torus).
Ruch na torusie — nie na płaszczyźnie — oznacza, że proste interpolacje liniowe kątów mogą dawać nieintuicyjne trajektorie.
Przestrzeń styczna #
W każdym punkcie $q \in \mathcal{Q}$ możemy zdefiniować przestrzeń styczną $T_q\mathcal{Q}$ — przestrzeń wektorów prędkości dopuszczalnych przez więzy układu.
$$v \in T_q\mathcal{Q} \iff v = \frac{d}{dt}\gamma(t)\bigg|_{t=0}, \quad \gamma(0) = q$$
To właśnie w przestrzeni stycznej żyją prędkości uogólnione i siły uogólnione w mechanice Lagrange’a.
Zastosowanie: planowanie ruchu robotów #
Planowanie ruchu w $\mathcal{Q} = SO(3)$ wymaga metryki na tej rozmaitości. Prosta metryka euklidesowa na kątach Eulera jest nieodpowiednia — daje osobliwości (gimbal lock) i niejednoznaczność.
Metryka wynikająca ze struktury Riemanowskiej $SO(3)$ jest naturalnym rozwiązaniem. Geodezyke na $SO(3)$ to właśnie interpolacja SLERP używana w grafice 3D i robotyce.
Następna notatka: tensory i metryki — czym jest tensor metryczny i jak go używać.